Come capire se una funzione è continua
Spazio continuo
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Riassunto: Affinché una funzione sia continua in un punto, deve essere definita in quel punto, il suo limite deve esistere in quel punto e il valore della funzione in quel punto deve essere uguale al valore del limite in quel punto. Le discontinuità possono essere classificate come rimovibili, a salto o infinite. Una funzione è continua su un intervallo aperto se è continua in ogni punto dell’intervallo. È continua su un intervallo chiuso se è continua in ogni punto del suo interno ed è continua nei suoi punti finali.
Molte funzioni hanno la proprietà che i loro grafici possono essere tracciati con una matita senza sollevare la matita dalla pagina. Tali funzioni sono dette continue. Altre funzioni hanno punti in cui si verifica un’interruzione del grafico, ma soddisfano questa proprietà su intervalli contenuti nel loro dominio. Sono continue su questi intervalli e si dice che hanno una discontinuità in un punto in cui si verifica una rottura.
Iniziamo la nostra indagine sulla continuità esplorando cosa significa che una funzione ha continuità in un punto. Intuitivamente, una funzione è continua in un punto particolare se in quel punto il suo grafico non presenta discontinuità.
Come si fa a capire se una funzione è continua o discreta?
Riassunto della lezione
Una funzione discreta è una funzione con valori distinti e separati. Una funzione continua, invece, è una funzione che può assumere qualsiasi numero all’interno di un certo intervallo. Le funzioni discrete hanno grafici a dispersione, mentre le funzioni continue hanno grafici a linee o curve.
Cosa si intende per funzione continua?
Una funzione continua, come suggerisce il nome, è una funzione il cui grafico è continuo senza interruzioni o salti. Se cioè siamo in grado di disegnare la curva (grafico) di una funzione senza nemmeno sollevare la matita, allora diciamo che la funzione è continua.
Come si trova il punto in cui una funzione è discontinua?
Per determinare il tipo di discontinuità, verificare se esiste un fattore comune al numeratore e al denominatore di . Poiché il fattore comune esiste, ridurre la funzione. Poiché il termine può essere annullato, esiste una discontinuità rimovibile, o un buco, in corrispondenza di .
Definizione funzione continua
Sembra che l’utente si trovi su un dispositivo con uno schermo di larghezza “ridotta” (ad esempio, probabilmente si tratta di un telefono cellulare). A causa della natura della matematica di questo sito, è meglio visualizzarlo in modalità orizzontale. Se il vostro dispositivo non è in modalità orizzontale, molte delle equazioni si allontaneranno dal lato del dispositivo (dovreste essere in grado di scorrere per vederle) e alcune delle voci di menu saranno tagliate a causa della ridotta larghezza dello schermo.
Nelle ultime sezioni abbiamo usato il termine “sufficientemente bello” per definire quelle funzioni di cui potremmo valutare i limiti semplicemente valutando la funzione nel punto in questione. Ora è giunto il momento di definire formalmente cosa intendiamo per “sufficientemente gradevole”.
Si noti che questa definizione presuppone implicitamente l’esistenza sia di \(f\sinistra( a \destra)\) che di \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\sinistra( x \destra)\). Se una di queste non esiste, la funzione non sarà continua in \(x = a).
\´[´mathop {\lim }´limiti_{x ´a} f{sinistra( x ´destra) = f{sinistra( a ´destra)´hspazio{0. 5in}\mathop {\lim }\limits_{x \code(0144)} to {a^ – }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \code(0144)} to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]
Continuo e differenziabile
Il calcolo vuole descrivere matematicamente questo moto, sia la distanza percorsa che la velocità in un dato momento, in particolare quando la velocità non è costante. La soluzione di questo problema matematico è una delle prime applicazioni del calcolo.
In qualsiasi problema reale di moto continuo, la distanza percorsa sarà rappresentata come una “funzione continua” del tempo percorso, perché il tempo viene sempre trattato come continuo. Dobbiamo quindi capire cosa intendiamo per funzione continua.
Un grafico è un aiuto per vedere una relazione tra numeri. Consideriamo quindi il grafico della funzione f(x) sulla sinistra. Il grafico è una linea continua e ininterrotta. Pertanto vogliamo dire che f(x) è una funzione continua. Ma una funzione è una relazione tra numeri. (Argomento 3 di Precalculus) Qualsiasi definizione di funzione continua deve quindi essere espressa solo in termini di numeri. Per farlo, dobbiamo vedere cos’è che rende continuo un grafico – una retta – e cercare di trovare questa stessa proprietà nei numeri.
Esempi di funzioni discontinue
Una funzione continua, come suggerisce il nome, è una funzione il cui grafico è continuo senza interruzioni o salti. Se cioè siamo in grado di disegnare la curva (grafico) di una funzione senza nemmeno sollevare la matita, allora diciamo che la funzione è continua. Lo studio della continuità di una funzione è molto importante nel calcolo, poiché una funzione non può essere differenziabile se non è continua.
Una funzione f(x) si dice continua in calcolo in un punto x = a se la curva della funzione NON si interrompe nel punto x = a. La definizione matematica della continuità di una funzione è la seguente. Una funzione f(x) è continua in un punto x = a se
Questa definizione dà davvero il significato che la funzione non deve avere una rottura in x = a? Vediamo. “limₓ → ₐ f(x) esiste” significa che la funzione deve avvicinarsi allo stesso valore sia a sinistra che a destra del valore x = a e “limₓ → ₐ f(x) = f(a)” significa che il limite della funzione in x = a è uguale a f(a). L’insieme di queste due condizioni fa sì che la funzione sia continua (senza interruzioni) in quel punto. Lo si può capire dalla figura seguente.
