Come vedere se una funzione è continua

Calcolatore di continuità

il punto qui. Diciamo che è RC. Se riesco a disegnare il grafico in quel punto, il valore della funzione in quel punto senza prendere la matita o la penna, allora è continua. Quindi posso iniziare da qui, senza dover prendere la matita, ed ecco fatto. Posso passare attraverso quel punto, quindi possiamo dire che il nostro

senza prendere la penna. Vediamo, la mia penna tocca lo schermo, tocca lo schermo, tocca lo schermo. Come faccio a continuare a disegnare questa funzione senza prendere la penna? Dovrei prenderla e poi spostarmi di nuovo qui sotto. E questo è un senso intuitivo del fatto che non siamo continui

che ci stiamo avvicinando sia da sinistra che da destra. In questo scenario, quindi, mi sembra una buona soluzione. Esaminiamo ora alcuni scenari in cui dovremmo prendere in mano la matita mentre disegniamo la funzione attraverso quel punto, attraverso quel…

quel punto, attraverso quel… Attraverso quel… Quando x è uguale a c. Vediamo quindi uno scenario. Analizziamo uno scenario in cui abbiamo quello che spesso viene chiamato punto di discontinuità, anche se non si ha

Funzione differenziabile

lim x-> x0- f(x) = f(x0) (perché abbiamo un cerchio non pieno)Ma,lim x-> x0+ f(x) = f(x0) (perché abbiamo lo stesso cerchio non pieno nello stesso punto)Quindi la funzione data è continua nel punto x = x0.(iii)

Soluzione :lim x-> x0- f(x) = f(x0) (perché abbiamo un cerchio non pieno)Ma,lim x-> x0+ f(x) ≠ f(x0) (perché abbiamo un cerchio pieno in un punto diverso)Quindi la funzione data non è continua nel punto x = x0.

Domanda 2 :Consideriamo la funzione f (x) = x sin π/x Quale valore dobbiamo dare a f(0) per rendere la funzione continua ovunque? Soluzione : f (x) = x sin π/x L’intervallo di sin x è [-1, 1]-1 ≤ sin π/x ≤ 1Moltiplicando x per l’equazione, otteniamo-x ≤ x (sin π/x) ≤ xOra applichiamo i valori limitelim x -> 0 (-x) ≤ lim x -> 0 x (sin π/x) ≤ lim x -> 0 x0 ≤ lim x -> 0 x (sin π/x) ≤ 0Per il teorema del sandwich lim x -> 0 x (sin π/x) = 0Ora ridefiniamo la funzione

Da ciò si evince che il valore di f(0) deve essere 0, per rendere la funzione continua ovunqueDomanda 3: La funzione f(x) = (x2 – 1) / (x3 – 1) non è definita in corrispondenza di x = 1. Quale valore dobbiamo dare a f(1)? Quale valore dobbiamo dare a f(1) per rendere f(x) continua in corrispondenza di x = 1? Soluzione: Applicando il valore del limite direttamente alla funzione, otteniamo 0/0. Ora semplifichiamo f(x) = (x2 – 1 / x3 – 1). Semplifichiamo ora f(x)f(x) = (x2 – 1) / (x3 – 1) = (x + 1) (x – 1)/(x – 1)(x2 + x + 1) = (x + 1) / (x2 + x + 1)lim x-> 1 f(x) = lim x-> 1 (x + 1) / (x2 + x + 1) = (1 + 1)/ (1 + 1 + 1) = 2/3Riformulando la funzione, otteniamo

Discontinuità di salto

Una funzione continua, come suggerisce il nome, è una funzione il cui grafico è continuo senza interruzioni o salti. Se cioè siamo in grado di disegnare la curva (grafico) di una funzione senza nemmeno sollevare la matita, allora diciamo che la funzione è continua. Lo studio della continuità di una funzione è molto importante nel calcolo, poiché una funzione non può essere differenziabile se non è continua.

Una funzione f(x) si dice continua in calcolo in un punto x = a se la curva della funzione NON si interrompe nel punto x = a. La definizione matematica della continuità di una funzione è la seguente. Una funzione f(x) è continua in un punto x = a se

Questa definizione dà davvero il significato che la funzione non deve avere una rottura in x = a? Vediamo. “limₓ → ₐ f(x) esiste” significa che la funzione deve avvicinarsi allo stesso valore sia a sinistra che a destra del valore x = a e “limₓ → ₐ f(x) = f(a)” significa che il limite della funzione in x = a è uguale a f(a). L’insieme di queste due condizioni fa sì che la funzione sia continua (senza interruzioni) in quel punto. Lo si può capire dalla figura seguente.

Dimostrare la continuità su un intervallo

In matematica, una funzione continua è una funzione tale che una variazione continua (cioè un cambiamento senza salti) dell’argomento induce una variazione continua del valore della funzione. Ciò significa che non ci sono bruschi cambiamenti di valore, noti come discontinuità. Più precisamente, una funzione è continua se variazioni arbitrariamente piccole del suo valore possono essere assicurate limitandosi a variazioni sufficientemente piccole del suo argomento. Una funzione discontinua è una funzione che non è continua. Fino al XIX secolo, i matematici si affidavano in gran parte alle nozioni intuitive di continuità e consideravano solo le funzioni continue. La definizione di limite epsilon-delta è stata introdotta per formalizzare la definizione di continuità.

La continuità è uno dei concetti fondamentali del calcolo e dell’analisi matematica, dove gli argomenti e i valori delle funzioni sono numeri reali e complessi. Il concetto è stato generalizzato alle funzioni tra spazi metrici e tra spazi topologici. Queste ultime sono le funzioni continue più generali e la loro definizione è alla base della topologia.